BILANGAN BULAT

BILANGAN BULAT

a. Pengertian Bilangan Bulat

Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :

• Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)

• Nol : 0

• Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)

Himpunan Bilangan bulat

A = { …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

bilangan bulat negatif bilangan bulat positif

Bilangan nol

Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :

• Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, … }

Bilangan yang habis dibagi dengan 2

• Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, … }

Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1

b. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat :

• Penjumlahan dan Sifat-sifatnya

1. Sifat Asosiatif

( a + b ) + c = a + ( b + c )

Contoh :

(5 + 3 ) + 4 = 5 + ( 3 + 4 ) = 12

2. Sifat Komutatif

a + b = b + a

Contoh :

7 + 2 = 2 + 7 = 9

3. Unsur Identitas terhadap penjumlahan

Bilangan Nol (0) disebut unsur identitas atau netral terhadap penjumlahan

a + 0 = 0 + a

Contoh :

6 + 0 = 0 + 6

4. Unsur invers terhadap penjumlahan

Invers jumlah (lawan) dari a adalah -a

Invers jumlah (lawan) dari – a adalah a

a + (-a) = (-a) + a

contoh :

5 + (-5) = (-5) + 5 = 0

5. Bersifat tertutup

Apabila dua buah bilangan bulat ditambahkan maka hasilnya adalah

bilangan bulat juga.

a dan b ∈ bilangan bulat maka a + b = c ; c ∈ bilangan bulat

contoh :

4 + 5 = 9 ; 4,5,9 ∈ bilangan bulat

• Pengurangan dan Sifat-sifatnya

1. Untuk sembarang bilangan bulat berlaku :

a – b = a + (-b)

a – (-b) = a + b

contoh:

8 – 5 = 8 + (-5) = 3

7 – (-4) = 7 + 4 = 11

2. Sifat Komutatif dan asosiatif tidak berlaku

a – b ≠ b - a

(a – b ) – c ≠ a – ( b – c )

Contoh :

7 – 3 ≠ 3 -7 = 4 ≠ - 4

(9 – 4) – 3 ≠ 9 – (4-3) 􀃆 2 ≠ 8

3. Pengurangan bilangan nol mempunyai sifat :

a – 0 = a dan 0 – a = -a

4. Bersifat tertutup, yaitu bila dua buah bilangan bulat dikurangkan

hasilnya adalah bilangan bulat juga

:

a dan b ∈ bilangan bulat maka a - b = c ; c ∈ bilangan bulat

contoh :

7 - 8 = -1 ; 7,8,-1 ∈ bilangan bulat

• Perkalian dan Sifat-sifatnya

1. a x b = ab => hasil perkalian dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif

Contoh: 7 x 6 = 6 x 7 = 42

a x –b = -ab => hasil pekalian bilangan bulat positif dan negatif hasilnya adalah

bilangan bulat negatif

Contoh : 3 x -4 = -12

-a x -b = ab => hasil perkalian dua bilangan negatif adalah bilangan bulat positif

Contoh : -4 x -5 = 20

2. Sifat Asosiatif

(a x b) x c = a x (b x c)

Contoh: (2 x 3) x 4 = 2 x (3x4) = 24

3. Sifat komutatif

a x b = b x a

Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20

4. Sifat distributif

a x (b+c) = (a x b ) + (a x c)

Contoh : 3 x ( 2 +6) = (3 x 2) + (3 x 6) = 24

5 Unsur identitas untuk perkalian

- hasil perkalian bilangan bulat dengan nol hasilnya adalah bilangan nol

a x 0 = 0

- hasil perkalian bilangan bulat dengan 1 hasilnya adalah bilangan bulat itu juga

a x 1 = 1 x a = a

6. Bersifat tertutup

Jika dua bilangan bulat dikalikan maka hasilnya adalah bilangan bulat juga

a x b = c ; a, b, c ∈ bilangan bulat

• Pembagian dan Sifat-sifatnya

1. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan positif

(+) : (+) = (+)

Contoh : 8 : 2 = 4

2. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan positif

(-) : (-) = (+)

Contoh : -10 : -5 = 2

3. Hasil bagi dua bilangan bulat yang berbeda adalah bilangan negatif

(+) : (-) = (-)

(-) : (+) = (-)

Contoh : 6 : -2 = -3

-12 : 3 = -4

4. Hasil bagi bilangan bulat dengan 0 (nol) adalah tidak terdefinisi

a : 0 = tidak terdefinisi (~)

0 : a = 0 (nol)

Contoh :

0 : 5 = ~ (Tidak terdefinisi)

5. Tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif

a : b ≠ b : a

(a:b):c ≠ a : (b:c)

Contoh : 4 :2 ≠ 2 : 4 = 2 ≠1/2

(8:2) : 4 ≠ 8 : (2:4) = 1 ≠ 16

6. Bersifat tidak tertutup

Jika dua bilangan bulat dibagi hasilnya belum tentu bilangan bulat juga

contoh : 6 : 2 = 3 => bilangan bulat

7 : 2 = 3/2 => bukan bilangan bulat (bilangan pecahan)

• Pemangkatan bilangan bulat

an = a x a x a x … x a

Sejumlah n faktor

Contoh : 4³ = 4 x 4 x 4 = 64

3⁵ = 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243